為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，行向量組的秩稱為行秩。

　　對階梯形矩陣進行考察，發現階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數目，并且主元所在的列構成列向量組的一個極大線性無關組。

　　矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩，也不會改變矩陣的列秩。

　　任取一個矩陣A，通過初等行變換將其化成階梯形J，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對任意一個矩陣來說，其行秩和列秩相等，我們統稱為矩陣的秩。

　　通過初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關組的方法。

　　考慮到A的行秩和A的轉置的列秩的等同性，則初等列變換也不會改變矩陣的秩。總而言之，初等變換不會改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無關組時，可以對A既作初等行變換，又作初等列變換，這會給計算帶來方便。

　　矩陣的秩，同時又可定義為不為零的子式的比較高階數。

　　滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。

　　既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達如下：系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數矩陣的秩r等于未知量數目n，有唯一解，r

　　齊次線性方程組的解的結構問題，可以用基礎解系來表示。當齊次線性方程組有非零解時，基礎解系所含向量個數等于n-r，用基礎解系表示的方程組的解的集合稱為通解。

　　通過對具體實例進行分析，可以看到求基礎解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。

　　非齊次線性方程組的解的結構，是由對應的齊次通解加上一個特解。