課程名稱：常微分方程

　　一、考試的總體要求

　　本門課程主要考察學生對常微分方程的基本概念、基本原理以及基本解法的掌握程度。并且要求學生能夠對上述基本知識進行靈活運用，具有較強的分析問題、建立模型、解決問題的能力。

　　二、 考試的內容及比例

　　1、緒論(5 ～ 10%)：

　　(1) 掌握微分方程的基本概念。

　　(2) 了解利用物理基本概念建立簡單微分方程模型。

　　2、一階微分方程的初等解法(10 ～ 30%)：

　　(1) 掌握變量可分離方程及可化為變量可分離方程的求解、線性方程的概念及常數變易法的使用、恰當方程的判定以及積分因子的計算;

　　(2) 理解一階隱方程的求解及參數表示。

　　3、一階微分方程解的存在定理(10 ～ 20%)：

　　(1) 掌握解的存在唯一性的證明方法，唯一性定理條件和結論。

　　(2) 熟練運用解的存在唯一性定理計算解的存在區間。

　　(3) 理解包絡和奇解的概念，會求解克萊羅(Clairaut)方程。

　　(4) 了解解的延拓以及解對初值問題的連續與可微性。

　　4、高階微分方程(15 ～ 30%)：

　　(1) 掌握齊次線性方程的解的性質與結構、非齊次線性方程與常數變易法。

　　(2) 熟練運用各種常系數線性微分方程的解法。包括：常系數齊次線性方程和歐拉方程，非齊次線性方程。

　　(3) 理解比較系數法與拉普拉斯(Laplace)變換法求解線性方程。

　　(4) 了解一些可降階的方程的求解。

　　5、線性微分方程組(15 ～ 30%)：

　　(1) 掌握矩陣指數expA的定義和性質、基解矩陣的計算公式。

　　(2) 熟練運用常數變易法求解線性微分方程組。

　　(3) 理解線性微分方程組存在唯一性定理以及拉普拉斯變換解線性微分方程組。

　　6、非線性微分方程和穩定性(5 ～ 15%)：

　　(1) 掌握線性系統平衡點(奇點)類型的判斷方法。

　　(2) 熟練運用按線性近似確定微分方程組的穩定性的方法。

　　(3) 理解Lyapunov第二方法。

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