提到數(shù)學(xué)，很多人反應(yīng)是要記很多公式，需要刷很多題才能拿高分。確實(shí)有很多同學(xué)通過考前突擊刷題，摸清相同類型的試題要用什么公式及方法，得到了不錯(cuò)的分?jǐn)?shù)。這些同學(xué)對(duì)知識(shí)的應(yīng)用很好，但是過一個(gè)學(xué)期后所有的知識(shí)又還給了老師，又需要進(jìn)行周而復(fù)始的刷題。還有一些同學(xué)，刷了很多題，覺得自己都會(huì)做，但是拿不到滿意的成績。這些同學(xué)的原因在于刷題沒有效率，更深層次的原因還是在于知識(shí)點(diǎn)掌握不夠清楚，而自己刷題時(shí)卻沒有發(fā)現(xiàn)。

　　如果學(xué)生覺得學(xué)數(shù)學(xué)的目的只是為了應(yīng)付考試，又用自己的方法拿到了想要的成績，那也可以繼續(xù)用自己的方法走下去。但在這里，我還是要強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)是構(gòu)建邏輯的基礎(chǔ)，邏輯思維在整個(gè)人生中都有用。這種軟實(shí)力也是國外大學(xué)最看重的，所以那些需要學(xué)生進(jìn)行深入研究分析才能寫出來的Extended Essay在IB課程評(píng)分中占很大比重。做數(shù)學(xué)題的過程就是解決問題的過程，你需要利用你手中掌握的工具，采取一定的方法技巧才能找到解決問題的途徑。而了解你的工具，學(xué)習(xí)解決問題的思路，才是數(shù)學(xué)帶給學(xué)生最重要的東西。當(dāng)然，作為學(xué)生，拿高分是我們最直接的目的。

　　簡單來說，數(shù)學(xué)中拿到高分需要具備能力：

　　(一)看到題后能迅速定位到相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)

　　(二)能夠?qū)Ω鱾�(gè)知識(shí)點(diǎn)以topic為單位進(jìn)行串連

　　(三)能對(duì)公式進(jìn)行熟練運(yùn)用

　　以上三點(diǎn)是比較容易做到的部分。在IB HL考試中遇到類似section B的題，綜合了各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有一定難度。遇到綜合題時(shí)跟著題目思路走，題目經(jīng)常會(huì)一小問一小問地引導(dǎo)學(xué)生。除了題目的提示，能做好綜合題就要靠平時(shí)培養(yǎng)出的數(shù)學(xué)思維。

　　針對(duì)這些能力，今天我在這里主要和大家分享一下國際課程數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些方法和技巧，包括在國際課程的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，怎樣高效消化上課內(nèi)容，怎樣高效刷題，以及怎樣在國際課程學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維。

　　1.高效消化上課內(nèi)容

　　(一)牢記定義

　　數(shù)學(xué)中引入新的概念時(shí)要注意定義。比如引入微分(differentiation)是因?yàn)橄胍�求某個(gè)量變化的快慢(即求rate of change)，在圖像上的表示就是求切線的斜率(gradient of tangent);引入積分(integration)是因?yàn)橄胍�求曲線跟x軸圍成的面積，其中有化曲為直的概念，因?yàn)槲覀儠?huì)求直線圍成的圖形面積。而引入對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithms)和反三角函數(shù)(inverse trigonometry)都是從我們熟悉的指數(shù)函數(shù)(exponents)和三角函數(shù)(trigonometry)出發(fā)，想要求他們各自的反函數(shù)(inverse function)。而什么又是inverse function，他跟function有什么聯(lián)系和區(qū)別。這樣就會(huì)把各個(gè)知識(shí)，連點(diǎn)為線，互相串起來。

　　(二)形成體系

　　所有的知識(shí)點(diǎn)都是從定義開始延伸出去的，在牢記定義的基礎(chǔ)上很多推論跟公式也會(huì)跟著寫出來。在每個(gè)topic結(jié)束后，做一次總結(jié)，將每個(gè)topic的知識(shí)以定義為核心形成一個(gè)體系。

　　很多學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中都容易陷入題海戰(zhàn)術(shù)或者死記硬背的循環(huán)中，會(huì)導(dǎo)致可能在開始的學(xué)習(xí)階段時(shí)，覺得習(xí)題簡單而忽視細(xì)節(jié)，然后到后期學(xué)習(xí)的時(shí)候時(shí)，又會(huì)很容易變得知識(shí)點(diǎn)脫節(jié)而難以靈活應(yīng)用。還有就是上課的時(shí)候老師講的都聽懂了，但是習(xí)題怎么老是做錯(cuò)或者甚至完全沒有頭緒呢?

　　這些問題最基本的原因是缺乏對(duì)于學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，及時(shí)的去復(fù)習(xí)以及強(qiáng)化訓(xùn)練。我們?cè)谏险n時(shí)所學(xué)習(xí)掌握的知識(shí)，如果不去管理是會(huì)很快變得模糊，所以我們要學(xué)習(xí)經(jīng)常性的有條理的去整理我們的知識(shí)體系。

　　推薦的一種比較好的學(xué)習(xí)方法是概圖漸進(jìn)式學(xué)習(xí)，可以從籠統(tǒng)的面到細(xì)致的點(diǎn)去整理知識(shí)，形成一個(gè)全面的知識(shí)體系。有時(shí)學(xué)生不能記住所有課堂上的內(nèi)容，如果這是不可避免的記憶缺失，那把課堂知識(shí)的知識(shí)輪廓圖掌握就變得很重要了。這是的方法去讓我們重新掌握完整知識(shí)細(xì)節(jié)，從而可以將知識(shí)點(diǎn)很好的靈活運(yùn)用于解習(xí)題。所以建議同學(xué)多多去練習(xí)自己對(duì)于學(xué)過知識(shí)的概括與總結(jié)，學(xué)習(xí)從概念圖出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)概念進(jìn)行圖片式的整理和細(xì)化，從而掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。。

　　(三) 熟悉公式

　　對(duì)于公式需要熟悉，在需要運(yùn)用公式的時(shí)候要知道什么時(shí)候運(yùn)用。公式能記住，但為了減少記憶量，只要注意重點(diǎn)部分。比如在三角函數(shù)的和

　　角公式里，sine角寫出來之后是sine跟cosine混合在一起的，而cosine角寫出來是cosine cosine在一起，sine sine在一起。以及二項(xiàng)展開式(binomial expansion)的公式只要理解了多項(xiàng)式乘法的定義，其實(shí)不需要記憶。

　　(四)記好筆記

　　課堂筆記以及課后總結(jié)還是建議做好，可以幫助記憶及理清思路。關(guān)于筆記，網(wǎng)上也介紹了很多方法，比如很有效的康奈爾筆記法。這里就不加贅述。

　　2.加強(qiáng)課后練習(xí)

　　(一)做題

　　在跟著學(xué)校的進(jìn)度做書中的練習(xí)題時(shí)，因?yàn)槭潜椋�一定要認(rèn)認(rèn)真真的做。在做題的過程中，可能碰到做過的相同類型的題，如果自己以前就做的很好，只要定位一下考哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)，理清思路就行了。然后著重攻克自己不會(huì)做的題。在做完書上練習(xí)題，進(jìn)入復(fù)習(xí)階段時(shí)，就要限制時(shí)間做一套套卷子了。

　　國際課程數(shù)學(xué)的輔導(dǎo)教材和習(xí)題集都比較少，一般可以選擇課后習(xí)題和往年的真題進(jìn)行練習(xí)，學(xué)通這邊對(duì)IB和Alevel的習(xí)題也做了系統(tǒng)的整理，根據(jù)往年的真題，對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)必考、常考的題目進(jìn)行了分類，并做成習(xí)題冊(cè)，在同步學(xué)習(xí)過程中也結(jié)合往年常考的真題對(duì)學(xué)生進(jìn)行測試和練習(xí)。

　　(二)復(fù)盤

　　做完卷子對(duì)完答案后，要進(jìn)行復(fù)盤。搞清楚自己容易錯(cuò)的地方是由于知

　　識(shí)點(diǎn)不熟悉還是理解錯(cuò)誤或是粗心。粗心不能算是借口，碰到類似題目的時(shí)候要知道自己容易錯(cuò)在哪些地方，甚至要清楚粗心的地方可能發(fā)生在哪里。這個(gè)過程花不了多少時(shí)間，但是很重要，可以減少刷題的量。

　　(三)存檔

　　沒有必要整理出來一個(gè)錯(cuò)題本，但是要把做過的卷子保留下來。錯(cuò)題用紅筆簡單標(biāo)注，可以標(biāo)出不熟悉的那個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也可以寫出錯(cuò)原因以防再犯。

　　3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

　　(一)記盡量少的東西，定義一定在其中。公式多且難或者只要記公式就行了的想法都是有偏差的。如果以后不再接觸這些公式，就會(huì)忘掉。要記的是定義，對(duì)于做題來說，定義不是實(shí)用的東西，但是很重要。只要牢牢記住定義，其他公式和推論就像是枝葉依附在定義這個(gè)樹干上一樣。

　　(二)要學(xué)習(xí)老師上課時(shí)的思路，解決問題的方法。比如說，老師經(jīng)常會(huì)教學(xué)生化陌生為熟悉。如果在做反三角函數(shù)時(shí)覺得不會(huì)做，就試著把整個(gè)式子用熟悉的三角函數(shù)表示出來再看。甚至在integration部分也會(huì)有遇到這種問題，如果不會(huì)做就先用代入法(substitution)把不熟悉的反函數(shù)化成熟悉的原函數(shù)，再找思路。

　　數(shù)學(xué)找思路的時(shí)候不要只在腦子里想，要?jiǎng)邮謱懴聛恚瑢懴聛聿艜?huì)有可能捕捉到規(guī)律，腦子里的想法都稍縱即逝。

　　(三)數(shù)感， 簡單來說就是數(shù)學(xué)感覺，就是conjecture。就像在平時(shí)生活中會(huì)說，“從直覺來看”，數(shù)學(xué)學(xué)得久了有時(shí)侯猜個(gè)答案也會(huì)猜對(duì)，在數(shù)學(xué)中也會(huì)有很多猜想。猜想或者聯(lián)想能幫助人記憶，幫助人找思路。

　　(四)要有整體概念。比如說量綱的概念，在用積分求曲線繞x軸體積時(shí)，積分符號(hào)里面是y平方，很多同學(xué)還是只寫y，要知道體積的單位都是長度的三次方，y平方乘以要積分的那個(gè)很小的x才是三次方;又比如，A level力學(xué)求回彈系數(shù)e時(shí)，已知速度會(huì)用字母u表示，可能在某一步運(yùn)算中會(huì)在某一項(xiàng)丟掉u導(dǎo)致結(jié)果變成e=(3u+2)/u，e是沒有單位的數(shù)，很明顯分子上的2少了個(gè)u。

　　在國際課程的高中數(shù)學(xué)中，不像初中經(jīng)常使用準(zhǔn)確的數(shù)字，高中已經(jīng)開始用字母代替數(shù)字，很多學(xué)生看到那么多字母就頭疼，其實(shí)只要搞清各個(gè)字母所處的相應(yīng)位置及對(duì)應(yīng)關(guān)系，用整體的概念去看式子。

　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，拿高分只是步，要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)，路還很長，希望后面還有機(jī)會(huì)和大家分享一些國際課程數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些思維和方法。

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