（依據：《孫子問題》；編詩：陳鋼）

    有物不知數，讓我數一數；

    三個三個數，剩二好孤獨；

    五五數剩三，七七又二單；

    此物多少數，誰能說清楚？

    「解說」這是依據《孫子算經》上有名的“孫子問題”（又稱“物不知數題”）
編寫而成的。原來的題目是：

    “今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾
何？”

    用通俗的話來說，題目的意思就是

    有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2 個；
五個五個地數，會剩下3 個；七個七個地數，也會剩下2 個。這些物品的數量至
少是多少個？

    （注：詩題及題目原文都無“至少”二字，但“孫子問題”都是些求“最少”
或者求“至少”的問題，否則就會有無數多個答案。所以，解釋題目意思時，在
語句中加上了“至少”二字。）

    《孫子算經》解這道題目的“術文”和答案是：

    “三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，
置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”

    這些話是什么意思呢？用通俗的話來說，就是：

    先求被3 除余2 ，并能同時被5 、7 整除的數，這樣的數最小是140 ；

    再求被5 除余3 ，并能同時被3 、7 整除的數，這樣的數最小是63；

    然后求被7 除余2 ，并能同時被3 、5 整除的數，這樣的數最小是30.

    于是，由140 ＋63＋30=233，得到的233 就是一個所要求得的數。但這個數
并不是最小的。

    再用求得的“233 ”減去或者加上3 、5 、7 的最小公倍數“105 ”的倍數，
就得到許許多多這樣的數：

    ｛23，128 ，233 ，338 ，443 ，…｝

    從而可知，23、128 、233 、338 、443 、…都是這一道題目的解，而其中
最小的解是23.

    答：這些物品的數目至少是23個。

    需要指出的是，在《孫子算經》上，有一段關于這類題目的解題“術文”：

    “凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置
十五，一百六以上以一百五減之，即得。”

    （注：古稱“106 ”和“105 ”為“一百六”和“一百五”，而稱“160 ”
和“150 ”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百
五”分別指“106 ”和“105 ”，而不是“160 ”和“150 ”。）

    明代著名的大數學家程大位，在他所著的《算法統宗》中，對于這種解一般
“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：

    三人同行七十稀，

    五樹梅花廿一枝；

    七子團圓正半月，

    除百零五便得知。

    歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

    這一歌訣的“詩意”，我們可以不去理會，只需注意它的數字就行了。歌訣
中的每一句話，都指出了一步解題方法：

    “三（3 ）人同行七十（70）稀”——是說除以3 所得的余數，要用“70”
去乘它；

    “五（5 ）樹梅花廿一（21）枝”——是說除以5 所得的余數，要用“21”
去乘它；

    “七（7 ）子團圓正半月（15）”——“半月”是一個月30天的一半，即15
日，這是說，除以 7所得的余數，要用“ 15 ”去乘它；

    “除百零五（105 ）便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數相加，加
得的和如果大于105 ，便應減去105 ，或者減去105 的倍數。這也就是《孫子算
經》上的“一百六（106 ）以上，以一百五（105 ）減之”。這樣得出的差，便
是所要求的這個最小的未知數了。

    運用這一歌訣來解答這道“物不知數”問題，便是

    2 ×70+3×21+2×15=140+63+30=233

    233-105-105=23（答略）

    不過，用這種方法解這類問題，有它的局限性，它只能解答用3 、5 、7 作
除數的題目，遇到用其他數作除數的算題，它就行不通了。這一點必須引起我們
的注意。

    這種“物不知數（孫子）問題”，在我國古代流傳的算法名稱很多。宋朝周
宓稱它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱“鬼谷算”，大概是因為它與傳說
中的哲學家鬼谷子有某些關系）；13世紀的大數學家楊輝則稱它為“剪管術”。
南宋數學家秦九韶將它推廣，并又發現一種算法，稱它為“大衍求一術”。它被
傳入西方后，外國人又稱它為“中國剩余定理”。但是大多數人較為通俗的叫法，
還是稱它為“韓信點兵”（也有稱“秦王暗點兵”的）。傳說我國漢朝的大將韓
信，計算士兵數目的方法十分特別，他不是五個五個或十個十個地數，也不要士
兵“一、二、三、四、五……”地報數，而是叫他們排起隊伍，依次在他面前列
隊行進：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士
兵記下來，就知道了士兵的總數。他旁邊的人見他并沒有數士兵的數目，有時甚
至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數，都感到十分驚奇。所以，后人就把這
種算法稱為“韓信點兵”了。“韓信點兵問題”在數學史上，是個極有名的問題。
西洋人直到18世紀才被瑞士數學家歐拉發現這一問題的解題規律。只拿我國南宋
秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時間。

    「思考、練習」

    1.有一道用詩的形式表達的謎題（陳邦新整理）是：

    花生若干粒，三數即余一；

    五數無剩余，七數余三粒。

    你能猜出得數是多少粒嗎？（答案：10粒）

    2.有一道民間詩題如下（陳邦新整理）：

    秦皇暗點衛隊兵，三三數來余二名；

    五數七數都余一，衛隊共是多少人？

    請仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）

    3.有總數不滿五十人的一隊士兵，“一至三報數”，最后一人報“一”：
“一至五報數”，最后一人報“二”：“一至七報數”，最后一人也報“二”。
這隊士兵有多少人？（答案：37人）

    4.用三輪小貨車運一批糧食，每次運7 袋，最后余下2

    袋；每次運8 袋，最后余下3 袋；每次運9 袋，最后余下1 袋。這批糧食至
少有多少袋？（答案：163 袋）

    5.有一個數，被5 除余2 ，被7 除余6 ，被11除余9.那么這個數最小是多少？
（答案：97）