1.從1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 中選出一些數（至少選一個，不能不
選），使它們的和為4 的倍數，一共有幾種方法？

    解答：先從3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 中隨便選幾個（可以不選）。之后根據
在3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 中選出數的和除以4 的余數來決定選不選1 ，2 ，方
法如下：若那個和除以4 余1 則1 ，2 都選；余2 則選2 不選1 ；余3 則選1 不
選2 ；余0 則都不選。這樣總共有2 的6 次方共64種方法，但是其中有一種一個
數都不選的方法，需要去掉，故滿足條件的選法有63種。

    2.一個回文數是指從首位數讀到末位數，與從末位數讀到首位數都相同的數
（例如：11511 ，22222 ，10001 ）。請問可被11整除的五位數的回文數個數與
全部五位數的回文數的個數之比是多少？答案請用最簡分數表示。

    解答：五位回文數的一般形式為ABCDE ，所以五位回文數共有9 ×10×10=900
個。若五位回文數能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數，即2a+c－2b=11 ，
2a+c－2b=22 ，2b－（2a+c）=11 或2b=2a+c.

    若2a+c－2b=11 ，則c 為奇數，當c=1 時，a －b=5 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，
4 ；當c=3 時，a －b=4 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；當c=5 時，a －b=3 ，
b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ；當c=7 時，a －b=2 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，
5 ，6 ，7 ；當c=9 時，a －b=1 ，b=0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8.共
35個數。

    若2a+c－2b=22 ，則c 為偶數，且不小于4 ，當c=4 時，a －b=9 ，b=0 ；
當c=6 時，a －b=8 ，b=0 ，1 ；當c=8 時，a －b=7 ，b=0 ，1 ，2.共6 個數。

    若2b－（2a+c）=11 ，則c 為奇數，當c=1 時，b －a=6 ，a=1 ，2 ，3 ；
當c=3 時，b －a=7 ，a=1 ，2 ；當c=5 時，b －a=8 ，a=1 ；c=7 或9 時，a
和b 無法同時為1 位數，所以共有6 個數。

    若2b=2a+c ，則c 為偶數，當c=0 時，a=b ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，
7 ，8 ，9 ；當c=2 時，b=a+1 ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ；當c=4
時，b=a+2 ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ；當c=6 時，b=a+3 ，a=1 ，2 ，
3 ，4 ，5 ，6 ；當c=8 時，b=a+4 ，a=1 ，2 ，3 ，4 ，5.共35個數。

    所以能被11整除的五位回文數有35+6+6+35=82個，與全部五位回文數的個數
之比為41/450