整數分拆問題是一個古老而又十分有趣的問題。所謂整數的分拆，就是把一
個自然數表示成為若干個自然數的和的形式，每一種表示方法，便是這個自然數
的一個分拆。整數分拆的要求通常是將一個自然數拆成兩個（或兩個以上）自然
數的和，并使這些自然數的積最大（或最小）；或拆成若干個連續自然數的和等
等。下面舉例作出剖析。

    例1 將14分拆成兩個自然數的和，并使這兩個自然數的積最大，應該如何分
拆？

    分析與解不考慮加數順序，將14分拆成兩個自然數的和，有1+13，2+12，3+11，
4+10，5+9 ，6+8 ，7+7 共七種方法。經計算，容易得知，將14分拆成7+ 7時，
有最大積7 ×7=49.

    例2 將15分拆成兩個自然數的和，并使這兩個自然數的積最大，如何分拆？

    分析與解不考慮加數順序，可將15分拆成下列形式的兩個自然數的和：1+14，
2+13，3+12，4+11，5+10，6+9 ，7+8.顯見，將15分拆成7+8 時，有最大積7 ×
8=56.

    注：從上述兩例可見，將一個自然數分拆成兩個自然數的和時，如果這個自
然數是偶數2m，當分拆成m+m 時，有最大積m ×m=m2；如果這個自然數是奇數2m+1，
當分拆成m+（m+1 ）時，有最大積m ×（m+1 ）。

    例3 將14分拆成3 個自然數的和，并使這三個自然數的積最大，如何分拆？

    分析與解顯然，只有使分拆成的數之間的差盡可能地小（比如是0 或1 ），
這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成4+5+5 時，有最大積4 ×5 ×5=100.

    例4 將14分拆成若干個自然數的和，并使這些自然數的積最大，如何分拆？

    分析與解首先應該考慮分成哪些數時乘積才能盡可能地大。

    首先分拆成的數中不能有1 ，這是顯而易見的。

    其次分成的數中不能有大于4 的數，不然的話，將這個數再拆成2 與另一個
自然數的和，這兩個數的積一定比原數大。比如5=2+3 ，但5 比2 ×3=6 小。

    又因為4=2 ×2 ，因此，可以考慮將14分拆成若干個2 或3 了。

    注意到2+2+2=6 ，2 ×2 ×2=8 ；3+3=6 ，3 ×3= 9. 因此，分拆成的數中
如果有三個2 ，還不如換成兩個3.這樣可知，分拆成的數中至多只能有兩個2 ，
其余都是3.

    綜合上述結果，應該將14分拆成四個3 與一個2 之和，即14=3+3+3+3+2，這
樣可得到五個數的最大積3 ×3 ×3 ×3 ×2=162.

    上述幾例是關于如何將一個自然數分拆成若干個自然數的和，并使它們的積
最大的問題。下面兩例則是如何將一個自然數按題目要求拆成若干個連續自然數
的問題。

    例5 將1994分拆成若干個連續自然數的和，一共有多少種不同的方法？

    分析與解因1994=997×2=492+493+494+ 495，僅一種方法。所以，該題有唯
一解。

    例6 將35分拆成若干個連續自然數的和，一共有多少種不同的方法？

    分析與解由于35=5×7=7 ×5 ，因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8 或5+6+7+8+9，
一共有兩種方法。